Category Archives: 量子力學

好的，各位同學，早上好！

(看到學生們就座，面帶微笑)

希望大家回去後有好好思考我們上堂課的內容——黑體輻射和普朗克石破天驚的能量子假設 E=hν。我們看到，古典物理在解釋物體如何發光的問題上遇到了「紫外災變」這樣的大麻煩，而普朗克引入能量不連續性的概念，完美地解決了這個問題。

但正如我們提到的，物理學晴空的烏雲不止一朵。今天，我們要來看另一朵關鍵的烏雲——光電效應 (Photoelectric Effect)。這個現象不僅會再次證明古典物理的不足，更將引導我們對「光」本身產生一個革命性的認識！

什麼是光電效應？

實驗本身概念很簡單：

(走到黑板/投影，開始畫示意圖)

想像我們有一個真空的玻璃管，裡面有兩片金屬板。一片我們稱為發射極 (Emitter) 或陰極，另一片稱為收集極 (Collector) 或陽極。我們用導線把這兩片金屬板接到一個可變電壓源和一個靈敏的電流計外面。

現在，我們用光照射發射極金屬板。實驗發現，在某些情況下，即使兩極之間沒有施加電壓，電流計也會偵測到微弱的電流！這意味著有帶電粒子（後來被證實是電子）從發射極被光「打」了出來，越過真空，到達了收集極，形成了電流。這個現象就叫做光電效應，被打出來的電子叫做光電子 (photoelectrons)。

聽起來似乎不奇怪？光攜帶能量，把能量傳遞給金屬中的電子，電子獲得足夠能量就能脫離金屬表面。古典電磁理論（光是波）也能解釋，對吧？

嗯…別急著下結論！ 當科學家們仔細研究光電效應的細節時，發現了一系列讓古典物理學家抓破頭皮的「怪事」：

1. 存在閾值頻率 (Threshold Frequency, ν0​):對於特定的金屬材料，只有當入射光的頻率 ν 高於某個特定值 ν0​ 時，才能打出光電子。如果 ν
   • 古典波理論的困難： 光波的能量應該與其強度（振幅的平方）成正比，與頻率關係不大。古典理論會預言，只要光足夠強（能量足夠多），任何頻率的光都應該能把電子打出來，只是可能需要更長時間累積能量。但實驗否定了這一點！頻率才是關鍵！
2. 光電子動能與頻率的關係:如果入射光的頻率 ν>ν0​，那麼打出來的光電子的最大動能 (Kmax​) 與光的頻率 ν 成線性關係，而與光的強度無關！也就是說，用更高頻率的光（比如從紅光換成藍光或紫外光）照射，打出的電子跑得更快；但增加光的強度（用更亮的同色光），只會打出更多的電子，但每個電子跑的最快速度（最大動能）不變。
   • 古典波理論的困難： 古典波理論認為，更強的光（更大的振幅）應該給電子更大的「推力」，使其獲得更大的動能。實驗結果卻是動能只跟頻率有關，強度只跟數量有關，這完全不合邏輯！
3. 幾乎沒有時間延遲:只要入射光的頻率 ν>ν0​，光電子幾乎是瞬間（小於 10−9 秒）就被發射出來，即使在光非常微弱的情況下也是如此。
   • 古典波理論的困難： 如果光是連續的波，能量是均勻分佈在波前上的。對於很弱的光，電子需要一段時間來「吸收」足夠的能量才能掙脫束縛。古典計算表明，這個時間延遲可能需要幾秒甚至幾分鐘，但實驗觀測卻是瞬時的！

(看著學生，語氣加重)

大家看到了嗎？古典的、優雅的光波動理論，在解釋光電效應的這些關鍵細節時，徹底失敗了！閾值頻率的存在、動能只依賴於頻率、瞬時發射——這些都無法用古典波的圖像來理解。

愛因斯坦的登場 (1905)

就在同一年，那位提出了相對論的年輕專利局職員——阿爾伯特·愛因斯坦 (Albert Einstein)——再次展現了他驚人的洞察力。他並沒有試圖去修補古典理論，而是提出了一個更加大膽、更加革命性的想法。

愛因斯坦認真對待了普朗克的量子假設 E=hν。但他更進一步，提出：不僅物質吸收或輻射能量是一份一份的，光本身在空間傳播時，就是由一份一份、不連續的能量子組成的！

這些光的能量子，後來被稱為「光子 (Photon)」。每個光子的能量，依然遵循普朗克的關係：

Ephoton​=hν

現在，讓我們用這個「光子」模型來重新解釋光電效應：

1. 光的照射， 不再是連續的能量波衝刷金屬表面，而是像一束粒子流（光子流）撞擊金屬。
2. 電子吸收能量， 不是連續吸收波的能量，而是與單個光子發生「碰撞」，並且是全有或全無 (all-or-nothing) 的吸收。一個電子要麼吸收一整個光子的能量 hν，要麼什麼也得不到。
3. 電子逸出功 (Work Function, ϕ): 電子被束縛在金屬內部，需要克服一個最小的能量 ϕ（稱為逸出功，其大小取決於金屬種類）才能「逃離」金屬表面。
4. 能量守恆: 當一個能量為 hν 的光子被電子吸收後：
   • 如果 hν<ϕ，光子的能量不足以讓電子克服逸出功，電子無法逃逸。這就解釋了閾值頻率 ν0​ 的存在，ν0​ 就是使得 hν0​=ϕ 的那個頻率。低於這個頻率的光子，能量不夠，來再多也沒用。
   • 如果 hν≥ϕ，光子的能量足以讓電子逃逸。一部分能量用於克服逸出功 ϕ，剩下的能量就轉化為光電子的動能 K。逃逸出來的電子中，損失能量最少的（比如那些恰好在表面，且向外運動的電子）將擁有最大的動能 Kmax​。根據能量守恆： hν=ϕ+Kmax​ 整理一下，得到光電效應的核心方程： Kmax​=hν−ϕ

(在黑板上清晰地寫下這個公式，並框起來)

這個簡單的線性方程，完美地解釋了實驗觀測到的現象！

• 它解釋了為什麼 Kmax​ 與頻率 ν 成線性關係（斜率是普朗克常數 h）。
• 它解釋了閾值頻率 ν0​=ϕ/h 的存在（當 Kmax​=0 時的頻率）。
• 它解釋了為什麼 Kmax​ 與光強度無關（強度只改變單位時間內光子的數量，不改變單個光子的能量 hν）。
• 它解釋了為什麼發射是瞬時的（只要一個能量足夠的光子擊中電子，吸收過程非常快，不需要累積能量）。

(畫出 Kmax​ vs ν 的關係圖，標出斜率 h 和 x 軸截距 ν0​)

這個解釋是如此成功和優雅！美國物理學家密立根 (Millikan) 最初並不相信愛因斯坦的光子假設，他試圖通過精確的光電效應實驗來證偽它，但結果反而極其精確地驗證了 Kmax​=hν−ϕ 這條直線關係，並且測得的斜率 h與普朗克從黑體輻射得到的數值驚人地一致！這最終讓密立根也接受了光子的概念，也為愛因斯坦贏得了 1921 年的諾貝爾物理學獎（諷刺的是，他最著名的相對論反而當時爭議更大，沒有獲獎）。

光電效應的意義：光的波粒二象性

愛因斯坦對光電效應的解釋，是物理學史上的一個重要里程碑。它確立了光的粒子性。光，這個我們一直認為是連續波動的東西，在與物質相互作用時（如光電效應），表現得像是由一個個分立的粒子（光子）組成的。

那麼，光到底是波還是粒子？

這就是量子力學的奇妙之處！光同時具有波動性（想想光的干涉、繞射現象，這些只能用波來解釋）和粒子性（想想光電效應，還有之後會提到的康普頓散射）。光具有波粒二象性 (Wave-Particle Duality)。它表現出哪種性質，取決於你如何去觀察它、用什麼實驗去測量它。

(停頓，讓學生感受這個概念的衝擊力)

總結一下今天：

• 光電效應實驗的幾個關鍵觀測結果（閾值頻率、動能與頻率關係、瞬時性）無法用古典光波動理論解釋。
• 愛因斯坦提出光是由能量為 E=hν 的光子組成，完美解釋了光電效應，並給出了核心公式 Kmax​=hν−ϕ。
• 光電效應確立了光的粒子性，揭示了光具有波粒二象性。

思考與預習：

1. 如果已知某金屬的逸出功 ϕ=2.0 eV，那麼能夠使其產生光電效應的光的最低頻率和最大波長是多少？ (提示: 1 eV≈1.602×10−19J)
2. 如果用波長為 400 nm 的光照射上述金屬，發射出的光電子的最大動能是多少？
3. 既然光子具有粒子性，那麼它除了能量 E=hν 之外，是否也具有動量？（預習：康普頓散射 或 德布羅意假說）

今天我們認識了光的粒子性。下一堂課，我們將會看到一個更加驚人的想法：既然波（光）可以像粒子，那麼我們一直認為是粒子的東西（比如電子），會不會也具有波動性呢？準備好迎接德布羅意的物質波吧！

好了，有問題的同學可以留下提問，或者來 Office Hour。下課！

好的，各位同學，請坐。很高興看到大家對這門課充滿熱情！

(在講台上稍微停頓，微笑環顧教室)

歡迎來到我們的第一堂課：「量子力學導論：探索微觀世界的奇妙規則」。我是 [你的名字/姓氏] 教授。在接下來的幾個月裡，我們將一起潛入一個既令人費解又無比迷人的領域——一個支配著原子、電子、光子，乃至宇宙本身最深層運作規則的世界。

我知道，對很多人來說，「量子」這個詞可能伴隨著「難懂」、「詭異」、「反直覺」的標籤。沒錯，它的確會挑戰你們從國中、高中物理課建立起來的很多「常識」。但這正是科學令人興奮的地方，不是嗎？發現我們既有的理解並不完整，然後踏上尋找更深層真理的旅程。

今天，我們的旅程就從一個看似簡單的問題開始：物理學在 19 世紀末，看起來是什麼樣子？

在座各位可能都學過牛頓力學。蘋果從樹上掉下來、行星繞著太陽轉，一切都遵循著精確、可預測的數學定律。給定初始條件，我們似乎可以預測系統未來的任何狀態。這是一個如同精密鐘錶般運行的宇宙。

然後是麥克斯韋的電磁理論——一個統合了電、磁、光的宏偉成就！它告訴我們光是一種電磁波，以驚人的速度（光速 c）在空間中傳播。這個理論解釋了從收音機到X光的各種現象，堪稱古典物理學的另一大支柱。

再加上熱力學，解釋了能量、熱量、功之間的關係。

到了 19 世紀末，許多物理學家甚至瀰漫著一種樂觀甚至自滿的情緒。有些人認為，物理學的大廈已經基本建成，剩下的只是一些修修補補、提高測量精度的「小」問題。當時著名的物理學家凱爾文勳爵 (Lord Kelvin) 甚至說過類似這樣的話：「物理學的晴空中，只剩下兩朵小小的烏雲。」

（稍微停頓，語氣轉為神秘）

然而，正是這兩朵（實際上可能不止兩朵）「小小的烏雲」，預示著一場即將顛覆整個物理學基礎的狂風暴雨！古典物理學，這個看似完美的理論大廈，在一些實驗現象面前，顯得捉襟見肘，甚至完全失效。

今天，我們就來聚焦其中一朵最著名的「烏云」—— 黑體輻射 (Blackbody Radiation)。

大家有沒有想過，為什麼加熱一個物體，它會發光？比如你家烤麵包機裡的電熱絲，或者鐵匠爐裡燒紅的鐵塊？它們會先變紅，溫度再高一點會變橘黃，甚至到最後發出耀眼的白光。

一個「黑體」(Blackbody)，在物理學上是一個理想化的物體，它可以吸收所有照射到它上面的電磁輻射，同時，它自身也會根據溫度向外輻射能量。雖然完美的黑體不存在，但像一個開了小孔的空腔，或者恆星（近似地），都可以被當作黑體來研究。

科學家們在實驗室裡精確測量了不同溫度的黑體輻射出來的光（或者說電磁波）的頻譜——也就是，輻射的能量是如何分佈在不同頻率（或波長）上的。他們畫出了像這樣的圖：

(假裝在黑板/投影上畫出幾條不同溫度的黑體輻射曲線，橫軸是頻率 ν 或波長 λ，縱軸是輻射強度。展示出峰值隨溫度升高向高頻/短波長移動的趨勢 – 維恩位移定律；總輻射能量隨 T4 增加 – 斯特藩-波茲曼定律。)

實驗結果很清晰、很規律。但問題來了：古典物理學能解釋這個曲線嗎？

當時最優秀的物理學家們嘗試用已知的電磁理論和統計力學來解釋。他們把黑體空腔裡的電磁輻射想像成很多不同頻率的駐波（就像琴弦上的振動一樣）。根據古典統計力學的能量均分定理 (Equipartition Theorem)，能量應該「民主地」、平均地分配給每一個可能的振動模式。

聽起來很合理，對吧？

兩位物理學家，瑞利 (Rayleigh) 和金斯 (Jeans)，基於這個想法推導了一個公式，試圖描述黑體輻射的頻譜。這個公式在低頻率（長波長）區域，和實驗數據符合得還不錯。

但是，當他們把這個公式應用到高頻率（短波長，比如紫外線區域）時，災難發生了！

瑞利-金斯定律預言：隨著頻率越來越高，輻射的能量將會無限增大！

(語氣加重，強調)

無限大！這顯然是荒謬的！如果這是真的，你家烤麵包機不僅會發紅光，更會噴射出無限能量的紫外線、X射線，甚至伽馬射線！我們周圍任何有溫度的物體都會變成致命的輻射源。幸運的是，事實並非如此。

這個理論與實驗在高頻區的災難性分歧，被稱為「紫外災變」 (Ultraviolet Catastrophe)。這表明，古典物理學在解釋這個基本現象時，存在著根本性的錯誤！

(環顧學生，確保他們理解了問題的嚴重性)

這時候，一位德國物理學家，馬克斯·普朗克 (Max Planck)，登場了。在 1900 年，為了讓理論公式能完美地符合實驗數據，普朗克做出了一個當時看來極其「瘋狂」且他自己也深感不安的假設。

他提出：能量的交換，並不像我們想像的那樣是連續的、可以任意大小的。 物體（比如黑體腔壁上的振子）吸收或輻射能量時，只能是一份一份地進行，每一份能量的大小，與輻射的頻率 ν 成正比。

他把這最小的一份能量稱為「能量子」 (energy quantum)，其大小為：

E=hν

這裡的 ν (nu) 是電磁波的頻率，而 h 是一個新的基本常數，現在我們稱之為普朗克常數 (Planck’s constant)。它的數值非常非常小 (約 6.626×10−34J⋅s)，這也是為什麼在宏觀世界我們幾乎感受不到能量的不連續性。

普朗克的假設意味著什麼呢？對於頻率很高的振動模式，它所對應的「能量子」 hν 就很大。根據統計力學，一個系統處於高能量狀態的機率會指數級下降。因此，在高頻區域，系統很難「湊」夠那麼大一份能量來激發振動模式，這些高頻模式就被有效地抑制了。

這樣一來，「紫外災變」就消失了！普朗克基於這個能量子假設推導出的新公式，完美地符合了所有溫度下的黑體輻射實驗曲線！

(展示普朗克公式，不必細究推導，強調其成功)

這是一個驚人的成功！但普朗克自己一開始可能也沒完全意識到他打開的是怎樣一扇大門。他最初可能認為這只是一個數學技巧。然而，「能量子」的概念——能量是不連續的、一份一份的——卻是量子革命的第一聲號角！古典物理學平滑、連續的世界觀，第一次出現了裂痕。

這就是我們今天的主要內容：黑體輻射問題揭示了古典物理的嚴重缺陷，而普朗克的量子假設，雖然最初只是為了解決這個問題，卻意外地開啟了通往全新物理學——量子力學的大門。

（停頓一下，讓學生消化）

當然，故事還沒結束。另一朵「烏雲」，也就是光電效應 (Photoelectric Effect)，將會由另一位偉大的物理學家——愛因斯坦——用更加徹底的量子觀念來解釋，這將是我們下一堂課的內容。光電效應會告訴我們，不僅能量的交換是量子化的，光本身似乎也具有粒子性！

今天的課後思考/預習：

1. 嘗試用自己的話描述什麼是「紫外災變」？為什麼它對古典物理學是一個嚴重的挑戰？
2. 普朗克為了解決黑體輻射問題，提出了什麼核心假設？這個假設與古典物理的觀點有何根本不同？
3. 預習一下「光電效應」實驗。思考一下：如果光是古典的電磁波，那麼用強光照射金屬和用弱光照射金屬，或者用紅光照射和用藍光照射，你預期會發生什麼現象？（提示：古典波的能量與振幅/強度有關，與頻率無關。）

好了，今天的課就到這裡。回去好好消化一下，特別是能量量子化 E=hν 這個看似簡單卻意義深遠的公式。不要害怕疑問，帶著你的問題來下次課，或者來我的 Office Hour 找我討論。

下課！

好的，各位同學，歡迎來到這門既迷人又有些「古怪」的課程——量子力學導論：探索微觀世界的奇妙規則！

我是你們的教授，你們可以叫我 [教授的名字/姓氏]。在接下來的學期裡，我將帶領大家一起踏上這段探索宇宙最基本構成的旅程。我知道，「量子力學」聽起來可能有點嚇人，充滿了奇怪的符號和反直覺的概念。但請相信我，只要跟著我的步伐，用開放的心態去理解，你會發現這是一個充滿驚奇和美麗的新世界。我們的目標是讓每一位同學，即使是剛滿18歲，對物理世界充滿好奇心的你，也能掌握量子力學的基本思想，並為未來更深入的學習打下堅實的基礎。

這門課適合誰？

• 對物理學有基本了解（高中程度即可，知道牛頓力學、電磁學的基本概念會有幫助）。
• 具備基礎的微積分和線性代數知識（我們會一起複習需要的工具）。
• 擁有一顆好奇、勇於挑戰傳統思維的心！

課程目標：

學期結束時，你將能夠：

1. 理解古典物理學的侷限性，以及量子力學誕生的歷史背景。
2. 掌握波粒二象性、不確定性原理等核心量子概念。
3. 認識波函數及其統計詮釋。
4. 理解並應用薛丁格方程式（定態與含時）來解決一些簡單體系（如一維無限深位勢阱）。
5. 了解量子測量的基本概念與特性。
6. 初步認識原子結構的量子模型（如氫原子）與自旋的概念。
7. 對量子力學在現代科技（如雷射、半導體、量子計算）中的應用有初步認識。
8. 培養從量子角度思考問題的能力。

教材與資源：

• 主要教科書： (我會推薦一本適合入門的經典教材，例如 Griffiths 的 “Introduction to Quantum Mechanics” 或 Townsend 的 “A Modern Approach to Quantum Mechanics” 的部分章節，並提供必要的補充講義。)
• 線上資源： 我們會利用一些優秀的線上模擬網站 (如 PhET Simulations) 來幫助視覺化抽象概念。
• 課程網站： 所有講義、作業、公告、補充資料都會發布在課程網站上。

課程大綱 (暫定，可能根據進度微調)：週次主題核心內容趣味連結/思考點1再見，古典世界！量子革命的開端黑體輻射、光電效應、原子光譜的危機，普朗克量子假設，愛因斯坦光子說。為什麼你的烤麵包機內部會發紅光？古典物理學怎麼解釋不了？2波？粒子？都是！——波粒二象性德布羅意物質波假說，電子的繞射實驗 (Davisson-Germer)，波包的概念。如果你跑得夠快，也能產生繞射嗎？你的「波長」會是多少？3無法同時知道所有事？——海森堡不確定性原理位置與動量的不確定性關係 (ΔxΔp≥ℏ/2)，能量與時間的不確定性關係，不確定性原理的物理意義。這代表宇宙是根本上「模糊」的嗎？還是只是我們測量能力的極限？4描述量子世界的語言：波函數 (ψ)波函數的意義，機率幅與機率密度 (Born rule)，歸一化條件，疊加原理。量子世界的「骰子」是怎麼擲的？波函數如何告訴我們結果？5量子世界的「牛頓定律」：薛丁格方程式 (含時)含時薛丁格方程式的建立與意義，描述量子系統狀態隨時間的演化。這個方程式如何「預言」未來？它和牛頓的 F=ma 有何不同？6穩定的狀態：定態薛丁格方程式與能量量子化分離變數法，定態薛丁格方程式，本徵值與本徵函數，能量量子化的概念。為什麼原子中的電子只能待在特定的「軌道」上？7牛刀小試(1)：一維無限深位勢阱解定態薛丁格方程式，得到量子化的能階與對應的波函數，計算粒子在不同位置出現的機率。把一個粒子關在「盒子」裡會發生什麼神奇的事？8量子世界的「測量」可觀測量與算符 (Operators)，期望值 (Expectation Value)，測量導致波函數塌縮。觀察一個量子系統，為什麼會改變它本身？「薛丁格的貓」到底怎麼了？9期中複習與測驗涵蓋前八週內容。檢視你對量子世界規則的掌握程度！10牛刀小試(2)：穿隧效應與有限深位勢阱量子穿隧現象的介紹，掃描穿隧顯微鏡 (STM) 的原理，有限深位勢阱的解 (概念)。為什麼粒子能「穿牆而過」？這在現實中有什麼應用？11牛刀小試(3)：量子諧振子量子諧振子的模型與能階，零點能的概念，在分子振動等方面的應用。即使在絕對零度，粒子也無法完全靜止？12初探原子世界：氫原子模型 (概念為主)球座標下的薛丁格方程式 (不解)，量子數 (n,l,ml​) 的引入與物理意義，原子軌域的形狀 (s, p 軌域)。原子的結構為什麼是穩定的？電子雲到底是什麼樣子？13內在的角動量：自旋 (Spin)史特恩-革拉赫實驗，自旋角動量的概念 (內稟性質)，自旋量子數 (s,ms​)，包立不相容原理。電子除了繞著原子核轉，還有「自轉」嗎？它和陀螺一樣嗎？14量子糾纏與現代展望量子糾纏的「鬼魅般」超距作用 (EPR佯謬，貝爾不等式簡介)，量子計算、量子通訊的基本概念。兩個粒子之間如何能「心電感應」？量子電腦厲害在哪裡？15課程總複習與 Q&A回顧整個學期的核心概念，討論量子力學的哲學意涵 (哥本哈根詮釋 vs 多世界詮釋?)，期末考前答疑。量子力學告訴我們，真實的世界是怎樣的？期末期末考試涵蓋整個學期內容。

評分方式：

• 家庭作業 (Homework): 30% (大約每週一次，包含計算題與概念題，鼓勵討論但需獨立完成)
• 課堂參與/小測驗 (Participation/Quizzes): 10% (鼓勵提問與回答，偶爾會有隨堂小測驗)
• 期中測驗 (Midterm Exam): 25%
• 期末考試 (Final Exam): 35%

家庭作業範例 (配合每週進度):

• 第一週作業 (古典物理的危機):
  1. (概念題) 描述光電效應實驗的裝置和主要觀測結果。為什麼古典電磁理論無法解釋這些結果？愛因斯坦的光子假說如何解釋？
  2. (計算題) 某金屬的逸出功是 2.5 eV。 a. 要使該金屬發生光電效應，照射光的最低頻率是多少？對應的波長是多少？ b. 如果用波長為 400 nm 的光照射該金屬，發射出的光電子的最大動能是多少 (以 eV 和焦耳表示)？
  3. (思考題) 普朗克的量子假設最初是為了解決什麼問題而提出的？它「量子化」了什麼物理量？
• 第三週作業 (不確定性原理):
  1. (概念題) 解釋海森堡不確定性原理 (ΔxΔp≥ℏ/2) 的物理意義。這是否意味著我們的測量儀器不夠精密？為什麼？
  2. (計算題) 一個質量為 1μg 的塵埃粒子，其位置的不確定性被限制在 0.1 mm 範圍內。根據不確定性原理，其速度的最小不確定性是多少？這個不確定性在宏觀尺度上是否顯著？
  3. (計算題) 假設一個電子被限制在寬度為 0.1 nm (原子尺度) 的一維區域內。估計其動量的最小不確定性 (Δpx​)。利用這個動量不確定性，估計該電子的最小動能（假設其平均動量為零）。這個能量與原子的典型能量尺度相比如何？
  4. (思考題) 試著用波包的概念來直觀理解位置和動量的不確定性關係。一個在空間上很局域的波包（Δx小）和一個在空間上很延展的波包（Δx 大），它們的波數（與動量相關）分佈有什麼不同？
• 第七週作業 (一維無限深位勢阱):
  1. (概念題) 對於一維無限深位勢阱中的粒子，為什麼其能量是量子化的，而不是連續的？最低能量（基態能量）為什麼不為零？
  2. (推導/計算題) 一個質量為 m 的粒子被限制在 x=0 到 x=L 的一維無限深位勢阱中。 a. 寫出其定態薛丁格方程式。 b. 證明 ψn​(x)=L2​​sin(Lnπx​) (其中 n=1,2,3,…) 是該方程式的解，並求出對應的能量本徵值 En​。 c. 計算粒子處於基態 (n=1) 時，在 0≤x≤L/4 區域內被發現的機率。 d. 計算粒子處於第一激發態 (n=2) 時的期望位置 ⟨x⟩。
  3. (應用題) 一個電子被限制在寬度為 1.0 nm 的一維無限深位勢阱中。計算其基態能量和前兩個激發態的能量 (以 eV 表示)。如果該電子從 n=2 能階躍遷到 n=1 能階，發射出的光子的波長是多少？

給各位同學的話：

量子力學無疑是個挑戰，它會顛覆你很多對世界的直觀理解。但請不要害怕，這趟旅程絕對值得。跟隨歷史的腳步，理解科學家們如何一步步揭開微觀世界的面紗；動手計算，感受數學如何精確地描述這些奇妙現象；積極思考，探索這些規則背後的深刻意義。

我鼓勵大家多提問、多討論、多思考。我的辦公室大門隨時為你們敞開 (請注意Office Hour時間，或提前預約)。讓我們一起享受這趟探索之旅，揭開量子世界的神秘面紗！

準備好了嗎？讓我們開始吧！